Um confronto de espaços de estados entre uma grade plana de dois e um cubo feito inteiramente de três.
Escrito e editado em inglês. Esta versão em português foi produzida por tradução automática; quando a precisão importa, o original em inglês é a referência. Ler o original em inglês →
Os dois jogos são quebra-cabeças de deslizar números. Em 2048, você empurra uma grade 4×4 de dezesseis células em uma de quatro direções; peças iguais colidem e dobram, subindo pelas potências de dois. Em 3927, você empurra um cubo 3×3×3 de vinte e sete células em uma de seis direções; três blocos iguais colidem e triplicam, subindo pelas potências de três, 3, 9, 27, os próprios algarismos do nome. 1 Perguntar qual é mais difícil é, na verdade, perguntar qual jogo esconde o maior oceano de posições possíveis. Então vamos tentar medir a água.
O tamanho bruto de um tabuleiro cresce como (símbolos por célula)cells. O número de células fica no expoente, que é onde mora toda a alavancagem. 2048 oferece dezesseis células; 3927 oferece vinte e sete. Mantenha fixo o alfabeto por célula e o cubo já é maior por um fator de aproximadamente a27−16 = a11; com um alfabeto de dez símbolos, só isso já dá cem bilhões de vezes mais estados antes de levarmos qualquer outra coisa em conta. A dimensão extra, e não a aritmética de base 3, é o verdadeiro motor.
Cada célula está vazia ou contém o valor de uma peça. Para um 2048 limitado à peça 256, uma célula expressa um de nove símbolos: vazio, mais {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Um limite superior publicado, construído exatamente a partir desse alfabeto, estima o tabuleiro 4×4 em cerca de 5,63 × 1014 posições, e os autores admitem com franqueza que esse teto inclui tabuleiros ilegais que nunca podem de fato ocorrer. 2 Dê a 3927 uma profundidade comparável, vazio mais {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, oito símbolos, e o seu teto bruto é 827 ≈ 2,4 × 1024. A base 3 dá a 3927 menos símbolos por célula do que a base 2 daria; as onze células extras lhe devolvem o céu.
Aprofunde um pouco as escadas de valores e o teto de 3927 supera o de 2048 por um fator entre um bilhão e cem bilhões. O cubo vence no expoente.
Ninguém enumerou os estados alcançáveis do 2048 em tamanho real, muito menos os de 3927. Mas pesquisadores já resolveram exaustivamente tabuleiros reduzidos de 2048, e esses números exatos ancoram as nossas estimativas. Um tabuleiro 3×3 de 2048 contém 48.713.519 estados alcançáveis; estenda-o para 4×3 e a contagem salta para além de um trilhão, 1.152.817.492.752 estados, com 739.648.886.170 posições distintas após o movimento. 3 Cada célula adicionada multiplica o mundo. Extrapole essa curva para 27 células e nenhuma tabela honesta consegue imprimir um único número.
| Propriedade | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Tabuleiro | 4×4 plano | Cubo 3×3×3 |
| Células | 16 | 27 |
| Base numérica | 2 | 3 |
| Regra de fusão | 2 iguais → dobra | 3 iguais → triplica |
| Direções de deslocamento | 4 | 6 |
| Símbolos / célula (profundidade equivalente) | 9 | 8 |
| Teto bruto (incl. ilegais) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Limite superior refinado citado | 5.63 × 10¹⁴ | nenhum publicado |
| Contagem exata, subtabuleiro 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Todo número grande aqui é um limite superior ou uma estimativa de ordem de grandeza, nunca um censo. Os tetos contam tabuleiros que o jogo legal nunca consegue alcançar, um tabuleiro com uma única peça solitária, por exemplo (os dois jogos começam com duas peças, e acrescentam uma nova após cada jogada, de modo que nenhum tabuleiro fica jamais reduzido a uma só peça), ou valores que nenhuma sequência de fusões pode produzir. Os números de 2048 vêm de trabalhos revisados por pares; os números de 3927 são tetos que eu mesmo calculei por alto, da mesma maneira, e devem ser lidos como “não maior que isto, provavelmente bem menos”. As regras dos dois jogos foram extraídas dos documentos de design dos jogos, não presumidas.
O tamanho do espaço de estados é o mapa; o fator de ramificação é a velocidade com que você o percorre. A cada turno, o jogador escolhe uma direção, até quatro em 2048, até seis em 3927, de modo que o cubo oferece cinquenta por cento mais escolhas reais por movimento. Então o acaso intervém: o jogo coloca uma nova peça em uma célula vazia aleatória. 2048 gera um 2 ou um 4, aproximadamente dois resultados por célula livre, em até quinze células vazias; 3927 sempre gera um único 3, mas em até vinte e seis células vazias. 1 Multiplique decisão por acaso e a árvore de jogo de 3927 se abre mais a cada lance e, como fusões de três são mais raras que fusões de dois, suas partidas tendem a durar mais, aprofundando a árvore além de alargá-la.
“Mais difícil” para um ser humano é uma questão de sensação, e 2048 não é moleza: decidir se uma posição arbitrária pode alcançar uma peça-alvo é comprovadamente NP-difícil em um tabuleiro genérico. 4 Mas, como objeto combinatório, 3927 é o animal maior por uma margem ampla e honesta: mais células no expoente, mais direções na ramificação, partidas mais longas na profundidade. A aritmética de base 3 que lhe dá o nome é quase uma pista falsa. A dificuldade nunca esteve nos três. Estava na terceira dimensão.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.