A eficiência oculta da base três, e se um jogo construído sobre ela é, discretamente, a máquina mais elegante.
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3927 é o 2048 reconstruído em três dimensões e em outra aritmética. O tabuleiro é um cubo 3×3×3, vinte e sete células, e você empurra o cubo inteiro em qualquer uma de seis direções. Quando três peças de mesmo valor colidem, elas não dobram; elas triplicam. Um três vira um nove, um nove vira um vinte e sete, e assim por diante: 81, 243, 729. O próprio nome enumera as três primeiras peças, 3·9·27, e tudo no design é três de ponta a ponta: três por eixo, três por fusão, três como fator de crescimento. 4
O seu antepassado é teimosamente binário. O 2048 clássico lida com potências de dois, 2, 4, 8, 16…, e une as peças aos pares. Dois é o número do cara ou coroa, do transistor, do bit. Então a pergunta natural que um jogador curioso faz é se trocar o dois pelo três é mera novidade ou se o três escondia uma vantagem real o tempo todo. Acontece que a matemática tem uma opinião, e essa opinião é surpreendentemente firme.
Imagine que você precisa construir uma máquina que armazena números. Cada posição de dígito custa alguma coisa, uma roda, um fio, uma válvula, e esse custo cresce com a base, porque um dígito na base b precisa de b estados distinguíveis. Mas uma base maior também significa que você precisa de menos dígitos para alcançar qualquer número dado. Há uma tensão aqui, e ela tem nome: economia de base (radix economy).
Formalmente, a economia de representar um número N na base b é a base vezes a quantidade de dígitos, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 Uma base grande compra números curtos, mas dígitos caros; uma base pequena é barata por dígito, mas se esparrama. Em algum ponto entre os dois extremos há um ponto ideal, e ele não fica onde a maior parte da nossa tecnologia foi parar.
| Base | b ÷ ln b | em relação ao ótimo |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | ótimo |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Para N grande, a economia se comporta como (b ÷ ln b) · ln N, de modo que a eficiência de uma base depende inteiramente do fator b ÷ ln b. Minimize isso com um pouco de cálculo e a resposta é exata e estranha: a base mais econômica de todas é e, aproximadamente 2,71828. 1 Não dá para construir um computador com 2,718 estados por dígito, claro. Mas dá para perguntar qual inteiro fica mais perto desse ideal, e o vencedor, superando tanto o dois quanto o dez, é o três.
A diferença não é acadêmica. A base três fica a menos de meio por cento do ótimo teórico, enquanto o binário paga uma sobretaxa de seis por cento e o decimal, esmagadores sessenta. Uma forma concreta de sentir isso: para escrever todos os números de 0 até 999.999, o binário precisa de 20 dígitos, o decimal de 6, mas o ternário de apenas 13, e 13×3 é um total menor que 20×2. 1 O três realmente condensa mais contagem em menos estrutura.
A natureza foi convidada a indicar a maneira mais eficiente de contar e respondeu com um número irracional. O número inteiro mais próximo dessa resposta é três.
Isso não é apenas uma curiosidade de livro didático. Em 1958, na Universidade Estatal de Moscou, uma equipe liderada por Nikolay Brusentsov e pelo matemático Sergei Sobolev construiu o Setun, o computador ternário mais famoso já feito. 3 Enquanto o Ocidente se comprometia com os bits, o Setun contava em trits, e usava um esquema particularmente belo: o ternário balanceado, cujos três valores de dígito não são 0, 1, 2, mas −1, 0, +1. 2
A simetria compensa de imediato. Um número carrega o próprio sinal, sem bit de sinal separado, sem os contorcionismos do complemento de dois, e para negar qualquer valor basta inverter cada dígito. Arredondamento e truncamento se tornam a mesma operação. Donald Knuth o considerou “talvez o mais bonito de todos os sistemas de numeração”. 2 Brusentsov, sem transistores, extraiu três estados estáveis de pares de núcleos de ferrite; cerca de cinquenta Setuns foram construídos, a maioria enviada para ensinar matemática em universidades soviéticas. 3 A máquina funcionava, era barata e estava discretamente à frente das suas vizinhas.
É aqui que quem escreve com cuidado precisa se conter. A economia de base é uma afirmação sobre armazenar e processar números sob hipóteses de custo específicas, e até os matemáticos observam que essas hipóteses são apenas aproximadas; uma contabilidade mais completa muitas vezes volta a justificar o binário, e é por isso que o mundo funciona com ele. 1 Um quebra-cabeça de fusão não é um banco de memória; ninguém está minimizando o número de válvulas num intervalo para o café. Portanto, 3927 não é “mais eficiente” em nenhum sentido de engenharia que realmente importe, e seria trapaça dizer isso.
E, no entanto, o jogo herda algo verdadeiro. O crescimento por triplicação alcança números grandes em menos movimentos, e mais decisivos; cada fusão faz mais trabalho, e um cubo 3×3×3 é o menor tabuleiro que deixa a fusão tripla respirar em todas as direções. 4 O design não tropeçou no três; ele chegou ao inteiro que a matemática da contagem discretamente prefere desde o alvorecer da computação eletrônica, aquele que os engenheiros do Setun escolheram de propósito. O dois é o número que adotamos por padrão. O três é o número que teríamos escolhido se a eficiência, e não o cara ou coroa, tivesse a palavra final. Que as peças por acaso formem 3, 9, 27 é uma pequena piada que o universo já estava contando.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.